Soal Matematika Informatika Struktur Aljabar

1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring ?

A. Asosiatif      C. Komutatif

B. Distributif     D. A,B,C Benar

Penyelesaian :

P = {3x|x ∈ Z }

Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.

a+b = b+a

3+6 = 6+3

9 = 9

Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.

a.b = b.a

3.6 = 6.3

18 = 18

Jadi P adalah komutatif.


2. Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ..... macam

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

Penyelesaian : ada 4 macam sistem aljabar pada struktur aljabar yaitu :

Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup


3. Dibawah ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi,kecuali...

a. Grup

b. Monoid

c. Polaroid

d. Grupoid

Penyelesaian : Hanya ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.


4. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner :

A * B = A + B + AB

Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?

a. Grup

b. Semigrup

c. Grupoid

d. Monoid


Penyelesaian :

1. Tertutup

Ambil sebarang A, B € N, karena A, B € N, dan AB € N maka

A * B = A + B + AB € N.

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2. Assosiatif

Ambil sebarang A, B, C € N, maka

(A * B) * C = (A + B + AB) * C = (A + B + AB) + C + (A + B + AB) C = A + B + AB + C + AC + BC + ABC

A * (B * C) = A * (B + C + BC) = A + (B + C + BC) + A (B + C + BC) = A + B + C + BC + AB + AC + ABC

Maka untuk setiap A, B, C € N berlaku

(A * B) * C = A * (B * C).

Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.

5. Dalam sebarang group berlaku sifat-sifat berikut, kecuali :

a. Hukum kanselasi kiri : jika ax=ay maka x=y

b. Hukum kanselasi kanan : jika xa=ya maka x=y

c. Hukum kanselasi kiri : jika xa=ya maka x=y

d. Jawaban a dan b benar

Penyelesaian :

Diberikan ax = ay.

Karena G grup dan a єG maka terdapat a-1 sehingga aa-1 = a-1a = e dengan e identitas.

Akibatnya :

a-1(ax) = a-1(ay)

dan dengan menggunakan hukum asosiatif didapat :

(a-1a)x = (a-1a)y

Dan dengan hukum invers didapat :

ex = ey

dan dengan hukum identitas didapat :

x = y

6. Perhatikan himpunan integer Z = {...,-I,O,I,2,...}.Tentukan apakah operasi berikut pada Z adalah asosiatif penjumlahan, pengurangan, perkalian?

a. YA,YA,YA

b. YA,TIDAK,TIDAK

c. TIDAK,YA,YA

d. YA,TIDAK,YA
e. TIDAK,TIDAK,TIDAK

Penjelasan:

(a) Ya, karena (a+b)+c=a+(b+c) untuk sembarang integer a, b, dan c.

(b) Tidak. Sebagai contoh,(12-6)-2=4 tetapi 12-(6-2)=8. Di sini (12-6)-2

:I: 12-(6-2).

(c) Ya, karena (ab)c =a(bc) untuk sembarang integer a, b, dan c.

7. Suatu Semigrup yang memiliki elemen identitas disebut….

a. Semigrup Abelian    c. Monoid

b. Subgrup                  d. Grup

Penjelasan :

Syarat dari Monoid adalah :

a. Himpunan S tertutup dibawah operasi *

b. Operasi * bersifat asosiatif

c. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *


8. Suatu Monoid yang memiliki elemen invers disebut….

a. Semigrup      c. Grup

b. Subgrup       d. Semigrup Abelian

Penjelasan :

Syarat Dari Grup adalah :

a. Himpunan S tertutup dibawah operasi *

b. Operasi * bersifat asosiatif

c. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *

d. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

9. Dalam Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat himpunan grup, kecuali ?

a. Himpunan tertutup dibawah suatu operasi

b. Operasi bersifat asosiatif

c. Tidak terdapat elemen identitas

d. Setiap anggota himpunan memiliki invers untuk operasi

Syarat Dari Grup adalah :

a. Himpunan S tertutup dibawah operasi *

b. Operasi * bersifat asosiatif

c. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *

d. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

10. Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S berlaku ?

a. a*b = b*a                    c. a dan b benar

b. (a*b)*c = a*(b*c)       d. a dan b salah

Penjelasan :

Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)